Дэвид гильберт

Формализация мироздания

Древнегреческий математик Евклид, «отец» классической геометрииактуальной бесконечности

Во множестве натуральных чисел N существует натуральное число 1, называемое единицей.
За каждым натуральным числом n непосредственно следует однозначно определённое натуральное число n’, называемое следующее за n.
Единица, то есть натуральное число 1, непосредственно не следует ни за каким натуральным числом.
Каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом.
Любое подмножество М из множества N, содержащее единицу, и вместе с каждым числом из М, содержащее следующее за ним число, совпадает с множеством N.

Итальянский математик Джузеппе Пеано, автор системы аксиом натурального ряда чиселНемецкий логик, математик и философ Готлоб Фрегетеорию множествБританский логик и математик Бертран Рассел«Что может быть более страшным для ученого, чем обнаружить, что сама основа его многолетнего, едва завершенного труда, в одночасье рухнула? Полученное мной от Бертрана Рассела письмо поставило меня именно в такое незавидное положение…»теории типовМатематика представляет собой набор следствий, выводимых из системы первичных аксиом и является:

Полной — любое математическое утверждение можно однозначно доказать или опровергнуть, используя правила самой математики;
Непротиворечивой — ни одно математическое утверждение нельзя одновременно доказать и опровергнуть, не нарушая при этом правил математики;
Разрешимой — относительно любого математического утверждения можно однозначно установить, опровержимо оно или же доказуемо.

Немецкий математик Давид Гильберт«Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести на их фундаменте все здание теории».«Автостопом по галактике»

Научная деятельность

В 23-летнем возрасте Давид смог защитить диссертацию по теории инвариантов, а спустя всего год стать профессором математики в Кенигсберге.

К преподавательской деятельности парень подходил со всей ответственностью. Он стремился, как можно качественнее объяснить ученикам материал, вследствие чего получил репутацию прекрасного педагога.

В 1888 г. Гильберту удалось разрешить «проблему Гордана», а также доказать наличие базиса для любой системы инвариантов. Благодаря этому он получил определенную популярность среди европейских математиков.

Когда Давиду было около 33 лет он устроился работать в Геттингенский университет, где трудился почти до самой смерти.

В скором времени ученый опубликовал монографию «Отчет о числах», а затем и «Основания геометрии», которые получили признание в научном мире.

В 1900 г. на одном из международных конгрессов Гильберт представил свой известный список, состоящий из 23 нерешенных проблем. Данные проблемы будут живо обсуждаться математиками в течении всего 20-го века.

Мужчина часто вступал в дискуссии с разными интуиционистами, включая Анри Пуанкаре. Он утверждал, что любая математическая проблема имеет решение, вследствие чего предложил аксиоматизировать физику.

С 1902 г. Гильберту доверили должность главного редактора наиболее авторитетного математического издания «Mathematische Annalen».

Через несколько лет Давид вводит понятие, которое становится известным под названием – гильбертово пространство, обобщавшее евклидово пространство на бесконечномерный случай. Данная идея имела успех не только в математике, но и других точных науках.

С началом Первой мировой войны (1914-1918) Гильберт выступил с критикой в отношении действий немецкой армии. От своей позиции он не отступал до конца войны, за что приобрел уважение от своих коллег во всем мире.

Немецкий ученый продолжал активно работать, издавая новые труды. В итоге, Геттингенский университет превратился в один из крупнейших мировых центров математики.

К тому времени биографии Давид Гильберт вывел теорию инвариантов, теорию алгебраических чисел, принцип Дирихле, развил теорию Галуа, а также решил проблему Варинга в теории чисел.

В 20-х годах Гильберт увлекся математической логикой, разработав четкую логическую теорию доказательств. Тем не менее, позже он признает, что его теория нуждалась в серьезной доработке.

Давид придерживался мнения относительно того, что математика нуждалась в полной формализации. При этом он был противником попыток интуиционистов ввести ограничения на математическое творчество (например, запретить теорию множеств или аксиому выбора).

Такие заявления немца вызвали бурную реакцию в научной среде. Многие его коллеги критически отнеслись к его теории доказательств, назвав ее псевдонаучной.

В физике Гильберт был сторонником строгого аксиоматического подхода. Одной из его наиболее фундаментальных идей по физике считается вывод уравнений поля.

Интересен факт, что эти уравнения интересовали и Альберта Эйнштейна, вследствие чего оба ученых вели активную переписку. В частности, во многих вопросах Гильберт оказывал большое влияние на Эйнштейна, который в будущем сформулирует свою знаменитую теорию относительности.

Берлин и Гёттинген: концепция Клейна

Математический Берлин вошел в число мировых центров
после 1860 года благодаря работам Карла Вейерштрасса, Эдварда Куммера и Леопольда Кронекера. Полем деятельности этого
триумвирата стали такие области чистой математики, как анализ и теория чисел.
Прикладными вопросами математики в Берлине не очень интересовались, как и
решением проблем, возникших в физике или технике.

Гёттинген долгое время уступал Берлину и Парижу по
математической известности, хотя трудами Карла Фридриха Гаусса и Бернхарда Римана он тоже приобрел
определенное имя в математическом мире. Настоящий расцвет Гёттингена как
математической столицы связан с трудами Феликса Клейна и Давида Гильберта, создавших прославленный
Математический институт.

В Гёттингене под энергичным руководством Клейна и
Гильберта стали развиваться новые направления науки, при этом подходы и методы
существенно отличались от берлинских.

Гильберт дал творческий импульс многим
математическим исследованиям, поражая своей многогранностью и широтой
интересов. В отличие от берлинской математической школы, в Гёттингене решались
не только задачи чистой математики, много внимания и сил отдавалось прикладным
задачам из различных областей промышленности, которая тогда бурно развивалась.

Давид Гильберт, 1886 г.

Клейн, в отличие от Гильберта, сам уже не занимался
наукой (сказывалось перенесенное им тяжелое нервное расстройство), но все силы
и талант отдавал организационной работе. Именно он в 1895 году пригласил
Гильберта в Гёттинген. Клейн организовал специальный математический читальный
зал для студентов и преподавателей с огромной библиотекой, создал
Математический институт, принесший Гёттингену мировую славу.

В 1902 году Математический институт Гёттингена
получил подкрепление в лице ближайшего друга Гильберта Германа Минковского,
известного своей геометрической интерпретацией теории относительности. Через
короткое времяв Гёттинген приехали
многие другие выдающиеся таланты, среди них ведущий специалист по численным
методам Карл Рунге и основатель аэродинамики Людвиг Прандтль.

Раньше других Клейн почувствовал наступление новой
технической эры. Особенное впечатление на него произвела поездка в США на
Всемирную выставку 1893 года в Чикаго. По примеру американцев в 1898 году он создал
вместе с ведущими немецкими промышленниками «Гёттингенское общество содействия
развитию прикладной физики и математики», которым руководил совместно с
коммерческим директором фабрики красок из города Эльберфельд доктором Генри
Бёттингером.

На научные семинары Клейн регулярно приглашал не
только математиков из других городов и стран, но и физиков, инженеров,
руководителей крупных промышленных предприятий. Задачи промышленности
потребовали тесных контактов между математиками, физиками и инженерами, а
деньги индустрии позволили создать такие первоклассные исследовательские
центры, как академический институт по изучению гидро- и аэромеханики. Его
директором стал Людвиг Прандтль.

Современники по-разному оценивали деятельность
Клейна. Одни приветствовали ее как отвечающую духу математики двадцатого века,
другие осуждали за снижение роли высокой науки до уровня технических вузов и
промышленных бюро. Дальнейшее развитие науки и техники показало, что Клейн
выбрал правильный путь. Но чтобы гармонично сочетать высокую науку с развитием
приложений в команде математиков должны быть и такие универсалы, как Гильберт и
Минковский, и такие ригористы, как Эдмунд Ландау.

Физика

До 1912 года Гильберт был почти исключительно «чистым» математиком. Планируя поездку из Бонна, где он был погружен в изучение физики, его коллега-математик и друг Герман Минковский пошутил, что ему пришлось провести 10 дней в карантине, прежде чем он сможет посетить Гильберта. Фактически, Минковский, кажется, ответственен за большинство исследований Гильберта по физике до 1912 года, включая их совместный семинар по этому предмету в 1905 году.

В 1912 году, через три года после смерти своего друга, Гильберт почти полностью сосредоточился на этой теме. исключительно. Он устроил себе «репетитора по физике». Он начал изучать кинетическую теорию газа и перешел к элементарной теории излучения и молекулярной теории вещества. Даже после начала войны в 1914 году он продолжал семинары и занятия, где внимательно следили за работами Альберта Эйнштейна и других.

К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации, но затем в течение почти 8 лет боролся с запутанной проблемой — привести теорию в окончательную форму. К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности, и он пригласил Эйнштейна в Геттинген, чтобы прочесть неделю лекций по этой теме. Эйнштейна встретили в Геттингене с энтузиазмом. Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работал над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал несколько статей, кульминацией которых стали «Полевые уравнения гравитации» (см. уравнения поля Эйнштейна ). Почти одновременно Дэвид Гильберт опубликовал «Основы физики», аксиоматический вывод уравнений поля (см. действие Эйнштейна – Гильберта ). Гильберт полностью доверял Эйнштейну как создателю теории, и ни один публичный спор о приоритете уравнений поля никогда не возникал между этими двумя людьми в течение их жизни. См. Больше в .

Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и помогла нескольким достижениям в математической формулировке квантовой механики. Его работа была ключевым аспектом работы Германа Вейля и Джона фон Неймана над математической эквивалентностью матричной механики Вернера Гейзенберга и волновое уравнение Эрвина Шредингера и его тезка гильбертово пространство играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что, если бы квантовые состояния понимались как векторы в гильбертовом пространстве, они соответствовали бы теории волновых функций Шредингера и матрицам Гейзенберга.

На протяжении всего этого погружения в физику Гильберт работал над тем, чтобы придать строгость математика физики. Хотя физики сильно зависят от высшей математики, они, как правило, «небрежны» с ней. Для «чистого» математика вроде Гильберта это было «уродливо» и трудно понять. Когда он начал понимать физику и то, как физики использовали математику, он разработал последовательную математическую теорию того, что он обнаружил, в первую очередь в области интегральных уравнений. Когда его коллега Ричард Курант написал ставший уже классическим Methoden der Mathematischen Physik (Методы математической физики), включающий некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта как автора, хотя Гильберт напрямую не участвовал к письму. Гильберт сказал: «Физика слишком сложна для физиков», имея в виду, что необходимая математика обычно им недоступна; книга Куранта-Гильберта облегчила им задачу.

Гильберт решает проблему Гордана

Первая работа Гильберта по инвариантным функциям привела его к демонстрации в 1888 году. его знаменитой теоремы конечности. Двадцатью годами ранее Пол Гордан продемонстрировал теорему о конечности генераторов для двоичных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции с более чем двумя переменными потерпели неудачу из-за огромной сложности вычислений. Чтобы решить то, что в некоторых кругах стало известно как проблема Гордана, Гильберт понял, что необходимо пойти совершенно другим путем. В результате он продемонстрировал базисную теорему Гильберта, показав существование конечного набора генераторов для инвариантов квантов в любом количестве переменных, но в абстрактной форме. То есть, демонстрируя существование такого набора, он не был конструктивным доказательством — он не отображал «объект» — а скорее был доказательством существования и полагался об использовании закона исключенного среднего в бесконечном расширении.

Гильберт отправил свои результаты в Mathematische Annalen. Гордан, эксперт по теории инвариантов в «Mathematische Annalen», не смог оценить революционный характер теоремы Гильберта и отклонил статью, критикуя изложение, поскольку оно было недостаточно полным. Его комментарий был:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

(Это не математика. Это теология.)

Кляйн, с другой стороны, признал важность работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Вдохновленный Кляйном, Гильберт расширил свой метод во второй статье, предоставив оценки максимальной степени минимального набора генераторов, и снова отправил его в Annalen

Прочитав рукопись, Кляйн написал ему:

Без сомнения, это самая важная работа по общей алгебре, которую когда-либо публиковал Annalen.

Позже, после того, как полезность метода Гильберта была общепризнана, Гордан Сам сказал бы:

Я убедил себя, что даже богословие имеет свои достоинства.

Несмотря на все его успехи, характер его доказательства создал больше проблем, чем Гильберт мог представить. Хотя Кронекер признал это, Гильберт позже ответил бы на аналогичную критику других о том, что «многие различные конструкции объединены в одну фундаментальную идею» — другими словами (цитируя Рейда): «Посредством доказательства существования Гильберт удалось получить постройку »; «доказательство» (т.е. символы на странице) было «объектом». Не все были убеждены. В то время как Кронекер вскоре умрет, его конструктивистская философия продолжится в молодом Брауэре и его развивающейся интуиционистской «школе». Мучение Гильберта в последние годы его жизни. Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из-за интуиционизма — «Гильберта беспокоило увлечение его бывшего ученика идеями Брауэра, которое пробудило в Гильберте память о Кронекере». Брауэр, интуиционист, особенно возражал против использования закона исключенного среднего над бесконечными множествами (как его использовал Гильберт). Гильберт ответил:

Взять у математика принцип исключенного среднего… это то же самое, что… запретить боксеру использовать кулаки.

23 января 1862 — 14 февраля 1943

Основные достижения:

Исследования Гильберта (David Hilbert) оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в первой трети XX века являлся одним из основных мировых центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под его научным руководством.

Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо одной области математики:

Теория инвариантов (1885—1893).
Теория алгебраических чисел (1893—1898).
Основания геометрии (1898—1902).
Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906).
Теория интегральных уравнений (1902—1912).
Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908—1909).
Математическая физика (1910—1922).
Основания математики (1922—1939).

Краткая биография:

В 1880 году закончил гимназию Вильгельма (Wilhelm Gymnasium). Далее, в том же году, Гильберт поступил в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем; позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, научным руководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переходит в Гёттингенский университет. На этой должности он оставался 35 лет, фактически до конца жизни.

Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, Герман Вейль,Джон фон Нейман , Рихард Курант, Гуго Штейнгауз, шахматный чемпион Эммануил Ласкер и другие. Намного больше круг учёных, которые считали себя его учениками, в их числе, например, Эмми Нётер и Алонзо Чёрч.

В 1897 году выходит капитальная монография «Zahlbericht» («Отчёт о числах») по теории алгебраических чисел.

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, послуживший направляющим указателем приложения усилий математиков на протяжении всего XX века.

С 1902 года Гильберт — редактор самого авторитетного математического журнала «Mathematische Annalen».

В 1910-х годах Гильберт создаёт в современном виде функциональный анализ, введя понятие, получившее название гильбертова пространства. Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработке четырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для Общей теории относительности.

В 1920-х годах Гильберт и его школа сосредоточили усилия на построении аксиоматического обоснования математики.

Могила Гильберта в Геттингене. На ней высечен его любимый афоризм:WIR MÜSSEN WISSEN WIR WERDEN WISSEN(«Мы должны знать. Мы будем знать»)

В 1930 году, в соответствии с уставом университета, 68-летний Гильберт ушёл в отставку, хотя время от времени читал лекции студентам. Последнюю лекцию в Гёттингене Гильберт прочитал в 1933 году.

После прихода национал-социалистов к власти в Германии жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать. Однажды Бернхард Руст, нацистский министр образования, спросил Гильберта: «Как теперь математика в Гёттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил: «Математика в Гёттингене? Её больше нет» (нем. …das gibt es doch gar nicht mehr).Ключевые слова: математика; логика; история ит; математическое моделирование;

|А.М.Федотов||Преподавание||Современные проблемы
информатики||Информатика||Ключевые термины||Персоны|

Федотова Ольга Анатольевна

НГУ
ФИТ НГУ
ИВТ СО РАН

2007-2022, Новосибирский государственный университет, Новосибирск

1998-2022, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск

1998-2022, Федотов А.М.

Дата последней модификации:
04.09.2013

Приложения

Библиография

: документ, использованный в качестве источника для этой статьи.

Пьер Касса-Noguès, Гильберт, 2001, Les Belles литература. колл. Фигуры знания; 29, 169 с. ( ISBN 2-251-76036-9 ) .
(ru) Констанс Рид, Гильберт, Springer Verlag ,1996 г., 228 с. .
Карлос М. Мадрид Касадо и Энн Постел (Trad.), В поисках универсальных аксиом: Гильберт, Барселона, RBA Coleccionables,2018 г., 174 с. ( ISBN 978-84-473-9333-6 )

Внешние ссылки

(de) , на Göttinger Digitalisierungszentrum
(en) Ирвинг Каплански, в Encyclopædia Britannica 2008
(ru) на Всемирной федерации национальных математических соревнований.
Авторитетные записи :
- ( )
Ресурсы для исследований :

Примечания и ссылки

(fr) Эта статья частично или полностью взята из английской статьи в Википедии под названием .

Заметки

« Die Ehre des menschlichen Geistes, so sagte der berühmte Königsberger Mathematiker JACOBI, ist der einzige Zweck go Wissenschaft. Wir dürfen nicht denen glauben, die heute мит философский Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen . »

Некоторые авторы, такие как Рейд, в качестве места рождения называют городок Веллау в районе Кенигсберга .
То есть пунктуальность, дисциплина и чувство долга. Ref. Карлос М. Мадрид Касадо и Анн Постель (Пер.) В поисках универсальных аксиом: Гильберт. П.17.
Статус приватдозента, который дает возможность читать курсы в университете, оплачивается не учебным заведением, а за счет регистрационных сборов студентов. Ref. Карлос М. Мадрид Касадо и Анн Постель (Пер.) В поисках универсальных аксиом: Гильберт. С. 18.
Несколько лет спустя Кляйн скажет, что сразу понял, что этот молодой человек ознаменует будущее математики. Ref. Карлос М. Мадрид Касадо и Анн Постель (Пер.) В поисках универсальных аксиом: Гильберт. Стр.19.
Он с самого раннего детства страдал серьезной психической патологией. Когда ему поставили диагноз шизофрения, отец отправил его в приют, где он провел большую часть своей жизни. С тех пор Гильберт решил притвориться, что у него никогда не было ребенка. Он прожил до 1969 года. Ref. Карлос М. Мадрид Касадо и Анн Постель (Пер.) В поисках универсальных аксиом: Гильберт. Стр.24
Он был арийцем, но его жена была еврейкой. Ref. Карлос М. Мадрид Касадо и Анн Постель (Пер.) В поисках универсальных аксиом: Гильберт. С.168.
Несчастный Блюменталь эмигрировал в Нидерланды, где оказался в затруднительном положении, а затем был депортирован в печально известное гетто Терезиенштадт, где и умер. Ref. Карлос М. Мадрид Касадо и Анн Постель (Пер.) В поисках универсальных аксиом: Гильберт. Стр.168
В начале XX — го века, он неодобрительно для женщины, чтобы преподавать на университетском уровне в Пруссии . Примерно в 1910 году Гильберт поддержал усилия Эмми Нётер, которая хотела преподавать в Геттингенском университете. Чтобы помешать установившейся системе, Гильберт предоставляет свое имя Нётер, который таким образом может объявлять расписание своих занятий, не нанося ущерба репутации университета. Ссылка Карлос М. Мадрид Касадо и Анн Постель (Пер.) В поисках универсальных аксиом: Гильберт. С.67.
В 1926 году, через год после матричной формулировки квантовой теории Максом Борном и Вернером Гейзенбергом, Джон фон Нейман стал помощником Давида Гильберта в Геттингене. Когда Нойман покинул его в 1932 году, он опубликовал свою книгу о математических основах квантовой механики Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, работу, основанную на математике Гильберта. Ref. Норман Макрэ, Джон фон Нейман: научный гений, создавший современный компьютер, теорию игр, ядерное сдерживание и многое другое (перепечатано Американским математическим обществом, 1999).